哪些"好时间"才是真的好？

一个用测量来定义的软质子污染时间筛选判据

面向物理系一年级研究生的研究计划。 不预设任何 X 射线天文背景知识。这里描述的全部工作都可以用公开归档数据和免费软件，在一台工作站上完成。

摘要

天基 X 射线望远镜会被软质子污染：这是来自地球磁层的低能粒子，望远镜的反射镜会像聚焦光子一样把它们聚焦到探测器上。因为它们是聚焦到达的、而且沉积出一条平滑的连续谱，所以单靠一条谱线永远无法把它们和它们所污染的天空区分开。唯一的抓手是时间：软质子成阵发出现，于是标准做法就是把吵闹的时段整段丢掉。

但那个做法只是一个按惯例选定的阈值，从来没有人确立过它应该是多少。这个项目问的是一个比"哪些时段吵"更锋利的问题：一次时间切割究竟应当最小化什么量？然后去找真正最小化它的那个切法。 答案需要两个能把软质子和另一种背景分开的物理指纹、一份三项行为各不相同的显式误差预算，以及——正如前期工作已经显示的——愿意接受"惯例阈值其实已经接近正确"或者"它正在扔掉好时间"这样的结论。

1. 问题

1.1 要测的是什么，为什么它脆弱

恒星之间、星系之间存在着稀薄的热气体。它太暗，无法直接看见，但它在 X 射线波段发光。测量这份辉光能告诉我们宇宙中有多少普通物质、它们在哪里、以及星系如何加热并抛出自己的气体。

这是一个背景测量：你不是在看一个亮源，而是在把所有亮的东西都去掉之后，试图确定图像里那个微弱、弥散的底。

这就使它对"任何其他会产生微弱弥散信号的东西"异常敏感——因为这样的东西看上去不像错误，它看上去像答案。

1.2 软质子

能量在几十到几百 keV 的质子被地球磁层俘获并加速。掠入射 X 射线反射镜分不出它们和光子的区别：它把它们连同天空一起聚焦到探测器上（图 2）。到了那里，它们在硅里沉积能量，被记录成事件，在整个能段上形成一条平滑的连续谱。

有两个性质让它们成为这个领域的核心难题：

它们是时变的。 强度可以在几分钟内上升一个量级又落回去（图 1）。在一次观测里，它们可能毫无贡献，也可能压倒一切。
它们的谱没有特征。 一条没有谱线的连续谱，而且正好落在弥散天空发光的那些能量上。在单次观测的一条谱上，你没有任何可以抓住的东西。

1.3 另一种背景，它不是同一回事

探测器还会记录宇宙线：从各个方向穿过航天器和相机外壳的高能粒子，不经聚焦。它们产生自己的连续谱，还产生一个有辨识度的东西——它们从相机外壳的铝和硅里打出荧光，在 1.49 keV（Al-K）和 1.74 keV（Si-K） 处形成锐利的发射线。

区分这两种污染很要紧，因为只有其中一种的时标是时间切割抓得住的，而为了去掉另一种去切时间，等于白白付出曝光。

2. 标准做法，以及它内部的那个假设

惯常的对策叫好时间区间（GTI）筛选。你在一个天空很暗、耀发很显眼的硬能段做一条光变曲线，设一个阈值，只保留低于阈值的时段。高于阈值的一律丢弃——连同那段时间里到达的所有天空光子。

这完全合理，而且有效。在下面前期工作用到的样本里，标准滤波在 29 个观测上共丢弃了 116.8 ks，其中 98.4% 确实比它保留下来的时间吵闹得多。这个滤波并没有犯粗糙的错误。

但关于它，有三件事从来没有被确立过：

阈值是一个惯例。 它不是从"最终测量应当达到什么"这句话里推导出来的。
代价是隐形的。 丢时间会抬高你想测的那个量的统计误差。在前期样本里，一个观测上滤波保留了 68.8% 的可用时间；另一个观测上只保留了 30.2%。这是一笔巨大且未经审视的开销。
对真正要命的那种失败，没有任何检验。 一次删掉了真实天空信号的切割——比如视场里正好有一个变源——按照现在通用的每一条判据看都像是成功。没有任何东西会报警。

这个项目的目的，就是把惯例换成判据，并且把那个报警装上。

3. 理论背景：两个指纹

整个项目建立在关于这台仪器的两个事实之上。两个都很初等，两个都不依赖模型，而它们合起来把一个无法回答的问题变成了一个可测量的问题。

3.1 几何：软质子到不了屏蔽角区

反射镜聚焦到视场上。探测器有一部分落在视场之外、被屏蔽于天空——即未曝光角区。天空光子到不了那里；软质子也到不了，因为两者走的是同一条聚焦路径。而从各个方向来的宇宙线可以自由抵达。

所以角区是一个直接的、同时进行的、只测宇宙线背景的监视器。把适当标定后的角区计数率从视场计数率里减掉，就去掉了宇宙线的贡献，留下天空加软质子——而且是逐观测完成的。这一点很重要，因为宇宙线背景在不同观测之间变化很大，而那些变化和软质子毫无关系。

3.2 能谱：软质子不带外壳荧光线

Al-K 和 Si-K 荧光线是粒子轰击相机外壳激发出来的。软质子被聚焦着越过外壳、直接沉积在硅里，因此不产生这些线。宇宙线背景则同时产生连续谱和这两条线，且比例固定。

于是，任何被删除成分的线／连续谱比值就给它贴上了标签。这里不需要任何谱模型——比较发生在同一批数据、同一台仪器下的两个子集之间。

4. 前期结果

前期工作在仙女座星系外围的 30 个归档观测上完成。选它们是因为这是一个大而均匀的集合，而且耀发污染差异极大——有些观测几乎干净，有些则超过 80% 的时间在耀发。前期工作确立了三件事。

4.1 时间切割删掉的不是宇宙线背景

图 3 直接把两条谱和它们的差摆在一起。被删时段和保留时段的谱都带着 Al-K 与 Si-K 线——这一点很重要，它说明两段时间里的粒子背景是同一回事。而它们的差里，线基本消失了。

机制值得说清楚，因为它容易被误读。设

\Delta(E)=R_{\rm rej}(E)-R_{\rm ret}(E)

其中 $R_{\rm rej}$ 、 $R_{\rm ret}$ 分别是被删时段和保留时段的计数率谱。荧光线由粒子轰击外壳激发，如果它的速率在两段时间里相同，它就在相减时精确抵消。它不是被"多减"了，而是本来就没有出现在差里。剩下的 $\Delta(E)$ 是一条光滑的连续谱——这正是软质子该有的样子。

（一个常见的误读来自"相对超出量" $\Delta(E)/R_{\rm ret}(E)$ 这种画法：在 Al 线所在的波段，分母被那条线抬高了，分子却没有，于是比值凹下去。那个凹是比值效应，物理内容仍然是" $\Delta$ 里没有线"。）

但"如果速率相同"是一个假设，而它可以被直接检验，也应该被直接检验。 把每个观测分成宁静段和耀发段，连续谱在耀发时涨 +442%，而 Al-K 线只动 +0.35%（图 8）。这才是这个项目真正的基石：不是"差里碰巧没有线"，而是荧光线是一个可以在视场内部读数的粒子背景监视器，它证明了耀发期间粒子背景没有动。方法与它的陷阱见 §8.2。

如果被丢弃的时段只是含有更多宇宙线背景，那两条线本应与连续谱同比例升高。它们没有。

4.2 它也到不了屏蔽角区，而且它不是一颗源

图 4 把同一个被删除成分分别在视场内和屏蔽角区里测量。视场内它占计数率的 14–26%；角区里只有 2.8%，与零相容。这个被删除的成分是经反射镜到达的。

但"经反射镜到达"还留下一种可能，而且是灾难性的那种：视场里的一颗变源。变星或吸积双星同样经反射镜到达、同样不带外壳荧光线、同样随时间变化。把它当成污染删掉，等于在删真实的天空信号——而在现行的每一条判据下，这看起来都像成功。

区分它需要空间信息，但不需要做源探测。判据只用被删除成分自己的空间分布：把视场分格，看最亮那一格占总超出的份额，和"若成分是弥散的"应有的基准 $1/N_{\rm cell}$ 比。

点源：无论网格多细，它都把很大一部分塞进一个格子——是弥散基准的几十倍，而且网格越细，这个倍数越大（源不变，基准变小）。
弥散成分：始终贴着基准走，倍数几乎不动。

这条判据有一个实际上的好处值得强调：它完全不依赖源表和探测流量限。源探测的深度随曝光变化，而我们正要改动曝光——用源表做判据会引入一个和自己的操作纠缠在一起的系统误差。只看超出量自己的空间分布就绕开了这件事。

实测结果是弥散那一侧：最亮格的份额在粗网格和细网格上都与弥散基准相容，而且集中度在细化时没有上升。变源假设被排除。

4.3 但取舍关系远比想象的差

图 5 把整个样本的"保留曝光"和一个残余污染代理量放在同一个平面上。标准滤波让出 22% 的可用时间，把那个量压低了 18.6 倍——这是一笔极好的交易。而在它之上发展出来的四种越来越精巧的策略，把同一个量又移动了不到 5%，其中一种还移错了方向，同时都实打实地花掉了曝光。

这里必须交代一件事，因为它是本提案的直接起因。 图 5 用的那个纵轴是

E(K)=\frac{N_{\rm FOV}(K)-\alpha\,N_{\rm corner}(K)}{T(K)}

其中 $$K$$ 是保留下来的时段集合， $$T(K)$$ 是 $$K$$ 的总活时间（秒）， $N_{\rm FOV}(K)$ 与 $N_{\rm corner}(K)$ 是 $$K$$ 之内落在视场和屏蔽角区的计数， $\alpha$ 是把角区计数换算成视场内粒子背景的传递系数。这个纵轴有缺陷： $\alpha$ 当时是用"强制过原点"的方式标定的，那会把天空记到 $\alpha$ 头上，实测大了一倍多，并且把粒子背景的起伏反号放大灌进纵轴（§8.2 给出数字）。那条移错方向的策略，正是最依赖这个纵轴的一条。

所以本提案不修补这个纵轴，而是换掉它——换成 §8.1 那个不需要任何粒子背景归一化的量。但图 5 的定性结论不依赖那个缺陷：标准滤波拿走了绝大部分，后续策略在很小的余量里争。用换掉之后的量重新测，这个结论变得更强而不是更弱：标准滤波的清除效率中位是 0.990，也就是说后来所有策略争的是最后的 1%。

正是这个观察促成了本提案。 这个领域一直在收益急剧递减的区间里做优化，而手上没有一个能察觉到这件事的判据。

5. 研究问题

问题有两个，而不是一个。它们看起来只差几个字，要压的却不是同一种误差。

Q-单. 给定一次完整的观测，如果目标是对弥散天空做出尽可能准确的测量，应该保留哪些时段？

Q-多. 给定多次观测，如果目标是对弥散天空做出尽可能准确的测量，每一次各自应该保留哪些时段？

单次观测里主导的是统计误差：切掉时间会直接抬高它。取舍是"少一点污染"对"少一点计数"，两边都能在这一次观测内部算出来。

多次观测里情况变了。统计误差随总曝光继续下降，而观测之间的偏置差异不会——它是系统误差，而且正是这个项目要处理的那一类。§8.6 会给出一个具体结果：这两个问题的最优点不在同一个地方，而观测数 $$N$$ 就是把最优点从一头滑到另一头的那个旋钮。

这里有一个重要的区分。QPB 造成的观测间不一致是可以被原谅的：抽谱之后 mos-back 会给出每个观测自己的 QPB 估计并扣除，那部分不一致有办法交代。真正需要担心的是软质子——它没有对应的模型产品可减，正是它构成了观测之间无法解释的偏置。

于是三个子问题：

Q1. 正确的待最小化量是什么？单观测和多观测各自是什么形式？它能不能从数据本身测出来，而不是假设出来？
Q2. 惯例滤波相对那个最优点在哪里——正好在上面、还没到、还是已经越过了？
Q3. 去掉更多污染，是否真的让同一片天的重复观测彼此更一致？这件事从来没有被检验过，而现在通行的每一种方法都默默地假设它成立。

6. "更好"是什么意思：误差预算

这是本项目的概念核心，值得说精确——因为现有做法最薄弱的地方恰恰在这里。

6.1 单个观测

在 §3.1 的角区扣除之后，来自单个观测的天空面亮度估计有一个行为很熟悉的统计误差：

\sigma_{\text{stat}} \;\propto\; \frac{1}{\sqrt{T}}

其中 $$T$$ 是保留的活时间。因此切时间会抬高这一项：保留时间的比例为 $$f$$ ，统计误差就被放大 $1/\sqrt{f}-1$ 。保留一次观测的 89%，代价是统计误差上升 6%。

切割买到的，是第二项的下降：保留时间里剩下的残余软质子污染，记作 $$b$$ 。它是偏置，不是噪声——它不会因为你多收集计数而变小。单个观测的总均方误差是

\mathcal{E}^2 \;=\; \sigma_{\text{stat}}^2 \;+\; b^2 .

在"保留哪些区间"上最小化 $\mathcal{E}$ ，是一个良定义、有唯一解的问题，而且它会自己停下来：一旦剩余污染变平，再切就只会抬高第一项。

6.2 多个观测

合并观测的理由是误差会变小。但三项贡献缩小的方式不同，而这是整个项目里最重要的结构性事实（图 6）：

贡献	合并 $$N$$ 个观测时的行为
统计误差	按 $1/\sqrt{\sum_i T_i}$ 下降——总曝光越多总是越好
在观测之间变化的污染	按 $s/\sqrt{N}$ 下降——平均有用； $$s$$ 是各观测残余污染 $$b_i$$ 之间的弥散， $s^2=\mathrm{Var}(b_i)$
在每个观测里都一样的污染	完全不下降

时间切割只能碰第二行：没有时间特征的污染，不会给任何 GTI 规则留下痕迹。

第三行则对数据整个不可见——给每个观测都加上同样多的量，和"天空本来就亮那么多"完全无法区分。要约束它只能靠谱分析：把残余软质子作为一个带自己谱形的成分放进联合拟合，用它和天空成分在谱形上的差别把两者分开。那是 GTI 工作之外的另一件事，本提案不承诺它，但必须说明这条边界在哪里——否则读者会以为切时间能解决全部问题。

把合并测量按权重 $$w_i$$ 写出来：

\mathcal{E}_{\text{comb}}^2 \;=\; \frac{\sum_i w_i^2 \sigma_i^2}{\left(\sum_i w_i\right)^2} \;+\; \left(\frac{\sum_i w_i b_i}{\sum_i w_i}\right)^{\!2}

由此立刻得到两条结论，而它们都不在现行做法之内。

一致性是必要条件，不是充分条件。 软质子只会增加计数，所以伤害合并结果的是偏置的加权均值，不是它的弥散。污染程度完全相同的一批观测，彼此完美一致，而且一起错。 观测之间的一致性是污染的探测器，不是目标本身。

切时间不是唯一的杠杆。 权重 $$w_i$$ 是自由的。一个带有较大稳态污染的观测无法靠切割改善——那里没有时间结构可切——但它可以被降权，而降权在任何地方都不花曝光。一个只围绕时间切割搭起来的框架，根本看不见这个选项。

图 6 里前两项都随 $$N$$ 下降，只是速率不同；第三项是一条水平线，完全不动。要注意的是，能被时间切割碰到的只有中间那一项——统计项是切割的代价而非收益，水平那一项则超出任何 GTI 规则的能力范围。

7. 材料

数据。 XMM-Newton 科学归档公开提供每一次观测的原始遥测（ODF）。本提案的前期工作用的是仙女座外围 30 个 080073*01 观测的 MOS2 数据；同一套方法适用于任何"重复或邻近指向、干净与耀发混合"的集合。

软件。 欧空局的 SAS 及其中的 ESAS 包完成从 ODF 到谱与响应的处理。GTI 策略的探索在处理链的 2.filter 阶段之前和之内进行，是纯粹的数组运算，不需要重复跑 ESAS——这一点决定了迭代成本很低。

需要的三样东西，缺一不可。（1）全时段事件表，即施加耀发筛选之前的 emchain 输出；归档产品里的事件表通常已经被筛过，只覆盖保留下来的时间，用它无法讨论"是否该少切一点"。（2）1 秒节奏的视场与角区光变，且必须覆盖全时段。（3）一次 CCD 层面的预筛：用 SAS 的 emanom 剔掉中途进入 anomalous state 的 CCD——那种 CCD 会给出又软又无线的时间局部超出，能骗过 §8.3 的两道判据（见该节）。

8. 方法与定义

这一节是本提案要接受审查的核心。每一个量都给出定义、它依赖的物理、它的不确定度从哪里来，以及它在什么情况下会给出错误答案。

8.1 核心参数：这条 GTI 删掉了多少时变软质子

先把符号定死。把观测的全时段切成等长的时间格，第 $$j$$ 格时长 $\tau_j$ （本工作取 100 s）。 $$c_j$$ 是该格内 2.30–3.20 keV 的计数。这段能量的选法有两条依据：它没有仪器荧光线，而且它落在软质子折断幂律的 3.2 keV 折点以下——折点以下的谱指数更硬，因此每个计数里软质子的份额更高、粒子背景的份额更低（§8.3）。定义

p_j \;=\; c_j \;-\; m\,\tau_j

其中 $$m$$ 是宁静基底，即该观测计数率分布的众数附近那批格子的加权平均率（估计方法与它为什么不能用迭代 σ 裁剪，见 §8.7）。于是对任何一条候选 GTI $$K$$ ：

\boxed{\;A(K)=\sum_{j\notin K}p_j\;}\qquad A_{\rm tot}=\sum_{\text{所有 }j}p_j\qquad \boxed{\;\eta(K)=\frac{A(K)}{A_{\rm tot}}\;}

$$A(K)$$ 是这条 GTI 删掉的、高出基底的超出计数，单位是计数。它的计数部分方差是精确 Poisson； $$m$$ 本身也是估计出来的，那一项目前没有传播进去，实测会把误差棒再抬高约 4%（中位；最坏 28%），应当补上。
$A_{\rm tot}$ 只依赖观测和 $$m$$ ，与 $$K$$ 无关——这正是它能当分母的原因。
$\eta(K)$ 是清除效率，标称落在 $$[0,1]$$ 。但 $$A(K)$$ 与 $A_{\rm tot}$ 都带噪声，保留段的残余超出涨落到负值时 $\eta$ 会略微越过 1。越界的幅度本身就是一个诊断：它应当与噪声相当，若明显超出就说明基底估错了。

这里必须把话说死，否则整个参数会被误读。 $A_{\rm tot}$ 不是"这个观测里本来有多少时变软质子"。那是观测量不到的东西。它是"高出我们所定义的基底的超出"。把两者等同起来，就是把一个构造物冒充成事实。

准确的陈述要写成模型。设 $c_j=(\,\mathrm{sky}+\mathrm{QPB}+SP_j)\,\tau_j$ ，而 $m=\mathrm{sky}+\mathrm{QPB}+SP_{\rm floor}$ ，其中 $SP_{\rm floor}$ 是被判为"宁静"的那批格子里的软质子水平。于是

p_j=c_j-m\,\tau_j=\big(SP_j-SP_{\rm floor}\big)\,\tau_j

这个等式只在天空恒定、粒子背景恒定两个前提下成立。后者是测出来的（§8.2，线在耀发期间只动百分之零点几）；前者是假设，§4.2 的空间判据排除了变源假说，但那是排除，不是证明。

由此得到三条边界，它们限定了这个参数能说什么：

$A_{\rm tot}$ 等于高出我们所选宁静格的软质子计数。真实的极小值只可能比 $SP_{\rm floor}$ 更低，所以它是时变软质子的一个下界，不是真值。
因此 $\eta$ 不是"删掉了百分之几的软质子"，而是"删掉了我们所定义的那份超出的百分之几"。
它站得住的用法是：同一个观测、 $$m$$ 冻结不变，比较不同的 GTI——未知的那一部分在比较里精确抵消。跨观测比较 $\eta$ 时就已经在借 $$m$$ 的定义了，必须连同 §8.7 的基底系统误差一起报。

要把下界变成真值，只有一条路，而且不在时间域里。 若某个观测确实几乎无软质子，它的基底就给出 $\mathrm{sky}+\mathrm{QPB}$ ，于是各观测的 $$m_i-m_0$$ 就是它自己的稳态软质子超出——这把"不可知"换成了"相对样本中最干净者可测"。要走到绝对量，则必须用谱：§8.3 测到的 3.2 keV 折点给了软质子一个谱模板，而天空不是折断幂律，所以联合拟合原则上能把基底里那一份软质子解出来。本提案不承诺这一步，但必须指明这就是边界所在。

为什么这个定义比"前沿纵轴"强。 $\eta$ 只用到这个观测自己和这一条 $$K$$ ，不引用任何别的策略。因此它可以合法地在保留时间不同的策略之间比较——而任何"候选比参考"形式的比值都不行：那种比值的分母随切割深度变化，同一个物理成分会因为你删得多少而得到不同的判决。

基底之下的东西不参与判断，而这正是它的力量所在。 $$m$$ 里混着粒子背景、天空、以及去不掉的稳态软质子。这三者在 2.filter 阶段分不开——把角区计数换算进视场需要 mos-back，此刻并不存在（§8.2）。这个参数不需要它们分开：它只问基底之上随时间变化的部分。图 9 把整个构造画在一次真实观测上。

实测结果。 把 $$K$$ 取成归档的标准 2.filter GTI，在 30 个观测上：


$A_{\rm tot}$ 显著（ $\ge5\sigma$ ）因而 $\eta$ 有定义的观测	19 / 30
这些观测的 $\eta$	中位 0.990
保留的时间比例 $$f_T$$	中位 0.690
全样本删掉的、高出基底的超出	136516 计数

能段的选择不改变这个结论，而这是测出来的。 同一套统计量换到折点以上（3.20–4.50 keV）给出 0.998，换到跨折点的 2.30–4.50 keV 给出 0.991，换到软段（0.50–1.30 keV）给出 0.979；逐观测中位差 0.0068。 $$A(K)$$ 是计数统计量，对能段本来就钝——但这一点必须被展示，不能被假定。

标准滤波让出中位 31% 的时间，换来 $\eta\approx0.99$ ——高出基底的那份污染只剩约 1%。 这把 §4.3 那句"收益急剧递减"从一个印象变成了一个数：后来所有更精巧的策略，争的是这最后的百分之一二。

它在什么时候不成立，必须先说。 $\eta$ 是一个比值， $A_{\rm tot}\to0$ 时它是 $$0/0$$ 。样本里有 11 个观测的超出与零相容， $A_{\rm tot}$ 与零相容，此时必须报 $$A(K)$$ 的计数而不是 $\eta$ ——不设这道闸就会拿噪声排序。这不是边角情况：那 11 个观测占样本三分之一还多。

8.2 荧光线：视场内部的粒子背景监视器（以及角区为什么不够用）

$$A(K)$$ 的定义里没有出现任何粒子背景扣除。这需要辩护，而辩护是测出来的，不是假设的。

先说角区为什么不够用。 屏蔽角区确实只看粒子背景。但要把角区的计数率换算成视场内的粒子背景率，需要一个传递系数 $\alpha$ ，而 2.filter 阶段没有 mos-back， $\alpha$ 只能从科学数据本身标定。本项目早期就是这么做的——在最安静的格子上要求"视场超出为零"，即 $\alpha=\sum N_{\rm FOV}/\sum N_{\rm corner}$ ，强制过原点。这是错的，而且错得可量化：视场里有天空，角区里没有，过原点等于把天空整个记到 $\alpha$ 头上。用 30 个观测的静态电平做回归（截距吸收天空）实测：


过原点的 $\alpha$	4.28
回归斜率 $\alpha$	1.93 ± 0.53（自举 [1.57, 2.54]）
$P(\text{斜率}\ge4.28)$	0.0014

$\alpha$ 大了一倍多。后果是：角区率在样本里从 0.113 摆到 0.165 cps，于是 $R_{\rm FOV}-\alpha R_{\rm corner}$ 会把 $(4.28-1.93)\times0.052=0.122$ cps 的伪超出灌进来，而静态视场率只有 0.614 cps。方向还是反的：粒子背景越高，判据越认为那段时间干净。角区监视器本来是为了挡住 QPB 变化，这样标定之后它反而把 QPB 变化放大了两倍灌进来。

所以本提案不用角区做扣除。 角区保留一个正当用途：它是一个独立的、快速的粒子背景变化探针，用来校验"粒子背景只慢变"这条假设。它是校验器，不是减数。

真正的监视器在视场内部。 铝和硅的 K 层荧光线由宇宙线轰击相机外壳激发，只随粒子背景走，软质子不产生它。而它就在视场里被测到——同一孔径、同一读出、零传递系数。于是可以直接检验那条唯一要紧的假设：耀发时粒子背景动不动？

用全时段事件表把每个观测分成宁静段和耀发段，实测（图 8）：

量	耀发相对宁静（样本中位）
连续谱（2.3–3.2 keV）	+442%
Al-K 线（log-parabola + 高斯拟合）	+0.35%

连续谱涨三倍，线不动。 因此在 $$A(K)$$ 里不扣粒子背景是有依据的：粒子背景在耀发期间没有变化，它整个落在基底 $$m$$ 里。扣一个常数会被 $$m$$ 原样吸收，是代数上的空操作。

这里有一个方法上的教训，而它比我一开始以为的更有意思。 线的强度可以用两种方式量：一是旁带扣除，假设线下的连续谱是两侧旁带的连线；二是拟合，把连续谱和高斯线一起拟合。两者在本样本上分别给出 -0.76% 和 +0.35%，都与零相容，但旁带带一个已知方向的偏差：耀发改变线下连续谱的形状，直线插值就不再成立。

拟合用的连续谱是对数抛物线（log-parabola）。它值得解释清楚，因为它是本节唯一的模型假设：

F(E)=A\left(\frac{E}{E_0}\right)^{-\left(\gamma+\beta\ln (E/E_0)\right)} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln F=\ln A-\gamma\,\ln\frac{E}{E_0}-\beta\ln^2\frac{E}{E_0}

幂律在对数—对数坐标里是一条直线；对数抛物线多一个曲率项 $\beta$ ，是一条抛物线。 $\beta=0$ 精确回到幂律，所以两者是嵌套的，改进可以用似然比检验，而不是靠看残差声称。

它在这里不是物理模型，是线下的插值工具。 唯一的要求是：它在比线宽（拟合出的 $\sigma\approx39$ eV）宽得多的尺度上平滑弯曲，因此不可能把线本身吸收进去。

检验结果推翻了一个直觉。 $2(C_{\rm PL}-C_{\rm LP})$ 在 $\beta=0$ 的零假设下服从 1 自由度的 $\chi^2$ （3.84 对应 95%，6.63 对应 99%）：

谱	$\Delta C$ 中位	$>95\%$	$>99\%$
宁静时段	9.1	20/23	17/23
耀发时段	2.9	6/23	2/23

需要曲率的是宁静谱，不是耀发谱。 原因说得通：宁静谱由天空主导，1.0–2.2 keV 里有 Fe-L 与 Mg XI 发射线复合体，还有 1.84 keV 的 Si K 边压在窗口中间；而耀发谱由软质子主导，而软质子在 3.2 keV 折点以下是一条硬幂律（§8.3）。所以"耀发谱更接近幂律"不是巧合，它是折断幂律图像的一个独立印证。

模型带来的系统误差也测了。 换用幂律连续谱，报出的线变化量从 +0.35% 变到 +0.64%，即 0.29 个百分点；而该量的统计误差约 1.5 个百分点。共同的偏移在"耀发比宁静"这个比值里大部分抵消了，所以连续谱模型不是这里的主导系统项——但它必须被报出来，因为它和信号同量级。

最后一条，先前我把因果说反过。 本工作曾把旁带的过减误读成"粒子背景随时间下降"，在 30 个观测里出现 13 次；换成正确的宁静段定义和拟合之后减到 10 次，但没有消失，仍列为系统项（§8.7）。

这一节对本项目既有方法的直接后果。 项目此前的 2.1.filter / 2.1c 方法在宽探测器率轴上构造对称的高/低试验，以 Al-K 作为两组之间共同的仪器线约束，再各自独立拟合连续谱，取 $C_{\rm high}-C_{\rm low}$ 作为候选的时变成分谱。那条"线是共同的"约束此前是假设，没有被检验。现在它有数了，而且可以换算成容差：线的失配上限（ $2\sigma$ ）是 3.4%，静态线率 0.203 cps，连续谱对比度 0.51 cps，于是强行绑定线所引入的连续谱偏差是

\delta_{\rm line}\times\frac{R_{\rm line}}{C_{\rm high}-C_{\rm low}}\;\le\;1.3\%

而且这个检验是在 +442% 的连续谱对比度下做的，比对称高/低试验实际用到的对比度更极端，所以这个上限是保守的。

8.3 被删除成分的身份：为什么它是指标合法性的依据

$\eta$ 说的是"删掉了多少高出基底的超出"。它没有说那个超出是软质子。要把 $\eta$ 当成"清除污染的效率"，必须独立证明被删掉的东西确实是污染。本节给出三条独立的证据，前两条是排除性的，第三条是正向的。

第三条先说，因为它最强。 软质子的残余连续谱按惯例用折断幂律描述，折点在 3.2 keV 附近，而且折点以下的谱指数更硬。这是一个可以被证伪的预言：如果被删除的成分是软质子，那么它在 3.2 keV 处应当变陡。把全样本的"耀发减宁静"差谱叠起来测（计数空间）：

	3.2 keV 以下	3.2 keV 以上	变陡量
被删除成分	$+0.698\pm0.018$	$+1.074\pm0.007$	$\mathbf{+0.376\pm0.019}$
宁静谱（同一响应，不同源）	$+0.889\pm0.032$	$+0.318\pm0.009$	$-0.571\pm0.034$

两者方向相反，差值 $+0.947\pm0.039$ ，即 $24.4\sigma$ 。 这个对照是必需的：望远镜的金 M 边复合体正好落在 2.2–3.5 keV，压在折点上，所以计数空间里的斜率变化本可能是仪器造成的。但响应对两条谱一视同仁，而它们朝相反方向弯——所以这个折断是被删除成分自己的性质。

这比"它不带荧光线"强得多：不带线只是排除了一种东西，而折点是从已知软质子物理出发的正向预言被数据证实。它同时给出了 §8.1 结尾提到的那个谱模板。

边界。 这是计数空间的测量，没有 ARF、没有 RMF、没有解卷积，因此上表里的数不是谱指数，折断的幅度也不能直接与文献里的折断幂律参数比较。能站住的是折断的存在、位置和符号，以及它与宁静谱的对照。要得到真正的谱指数需要响应矩阵，那是本提案之外的一步。

另外两条证据建立在同一个差谱上。 对任一试验切割，构造超出量

\Delta(E)=\frac{n_{\rm rej}(E)}{T_{\rm rej}}-\frac{n_{\rm ret}(E)}{T_{\rm ret}}

其中 $n_{\rm rej}$ 、 $n_{\rm ret}$ 是被删和保留时段内落在能量 $$E$$ 附近的计数， $T_{\rm rej}$ 、 $T_{\rm ret}$ 是两段的活时间。两段不相交，方差是精确 Poisson；任何随时间恒定的成分（天空、稳态粒子背景）在此精确抵消。

另外两条是排除性的：线／连续谱比（§4.1、§8.2）排除了"删掉的只是更多宇宙线背景"，空间紧致度（§4.2）排除了"删掉的是视场里的一颗变源"。

这不只是一道通过／不通过的门。 目标函数里把"去掉的连续谱"记作收益，这件事只有在被删除成分确实是污染时才成立；若其中一部分是真实天空信号，那同一项就该记作第二笔代价。所以这两项测量是指标本身合法性的依据——没有它们， $\mathcal{E}^2=\sigma^2+b^2$ 里的 $$b$$ 是没有定义的。

统计量取对计数线性的形式，因为要做零分布标定：线性亏损量的零分布性质良好，而线／连续谱比本身是两个小量之比、零分布是病态的比值噪声型，不可用作显著度。

已知的漏洞，写在这里而不是等人来问。 一块中途进入 anomalous state 的 CCD 会给出又软又无线、且时间局部化的超出：对线判据它完美地像软质子，对紧致度判据它铺满一整块 CCD、在 20″/80″ 格子上贴着弥散基准，两道门都会放它过去。本提案不指望指标去挡它，而是在处理之前用 SAS 的 emanom 逐 CCD 筛掉——这是预处理该干的事，不是判据该背的负担。

8.4 单观测目标函数

在一个观测内部只有两层，不是三层。 随时间变化的部分，和不变的部分。所谓"观测内恒定但高于样本地板"与"每个观测都一样"的区分，是样本层面的构造：在单个观测里它们是同一个常数，而且测不到，因为它与天空完全简并。

因此要诚实地说：一个观测无法定义自己的零点。 单观测目标函数只有在给定零点之后才是良定义的，而零点必然来自外面。

给定零点后，记 $$f$$ 为保留的活时间比例、 $$T$$ 为保留的活时间、 $$b$$ 为保留时段里剩下的残余污染：

\sigma_{\text{stat}}\propto\frac{1}{\sqrt{T}},\qquad \boxed{\ \mathcal{E}^2(f)=\sigma^2_{\text{stat}}(f)+b(f)^2\ }

$\mathcal{E}^2=$ 方差 $$+$$ 偏置 $$^2$$ 就是均方误差，所以"平方相加"是有原理的，不是约定。 $$b(f)$$ 随 $$f$$ 单调增（保留越多时间，带进来的污染越多）， $\sigma^2$ 随 $$f$$ 单调减，因此内部存在唯一极小值。

求解方式。 把全时段的格子按 $$p_j$$ （§8.1）升序纳入，每加一个重算 $\mathcal{E}$ 。 $\mathcal{E}$ 对保留曝光的曲线有极小值，那就是这个观测的答案。

那个测不到的常数不会从优化里掉出去。 偏置项是平方进目标的，交叉项让它留在梯度里——看不见的底座越大，切时间越划算。处理办法是把它当参数扫描：默认取零，这给出切得最少的最保守解；再报最优点随它增大如何移动。这样结论不依赖一个测不到的量，同时把依赖程度量化。

8.5 多观测目标函数

$$N$$ 个观测各自给出天空面亮度估计 $x_i=SB+b_i+\text{噪声}$ ，统计误差 $\sigma_i$ ，偏置 $b_i\ge0$ （污染只会加）。按权重 $$w_i$$ 合并：

\boxed{\ \mathcal{E}^2_{\rm comb}=\frac{\sum_i w_i^2\sigma_i^2}{\big(\sum_i w_i\big)^2} +\Big(\frac{\sum_i w_i b_i}{\sum_i w_i}\Big)^{2}\ }

对保留集 $\{K_i\}$ 和权重 $\{w_i\}$ 同时最小化。

两个观测就能把全部道理讲完。 设 A 干净（ $$b=0$$ ）、B 有偏置 $$b$$ ，两者统计误差都是 $\sigma$ ，给 B 权重 $$w$$ （A 的权重取 1）。最小化上式得到闭式解：

w^*=\frac{\sigma^2}{\sigma^2+b^2},\qquad \mathcal{E}^2_{\min}=\frac{\sigma^2(\sigma^2+b^2)}{2\sigma^2+b^2}

三件事立刻清楚：

常用的"安全近似" $w_i\propto1/(\sigma_i^2+b_i^2)$ 在两观测情形下就是精确解。
$\mathcal{E}^2_{\min}\le\sigma^2$ 恒成立。所以在最优加权下，加入一个有偏观测永远不会更差——正确的做法是降权，不是扔掉。
若偷懒等权平均（ $$w=1$$ ），加入 B 只有在 $b<\sqrt2\,\sigma$ 时才划算。这就是"一致性是必要不充分"的数字版本。

$$N$$ 个观测时唯一的新东西是：偏置项是加权平均再平方，不是平方相加，所以所有观测在梯度里耦合，驻点条件里冒出 $B=\sum_j u_jb_j$ （ $u_i=w_i/\sum w$ ）：

u_i=\frac{\lambda/2-B\,b_i}{\sigma_i^2}

$$b_i$$ 足够大时 $$u_i$$ 被压到零——形式上就是"把这个观测整个丢掉"，而那件事本来就有人在手工做，只是没有判据。

"降权"在操作上到底是什么。 这是一个必须说清楚的问题，因为标准链里没有这个旋钮：把各观测的谱合并本身就是按曝光加权的，合并完就没有降权的余地了。所以降权不发生在抽谱阶段，它发生在参数层：

逐观测独立拟合，得到 $SB_i\pm\sigma_i$ ；
合并时用 $w_i\propto1/(\sigma_i^2+b_i^2)$ ，而不是默认的 $w_i\propto1/\sigma_i^2$ （近似等于按曝光）。

操作上的真实代价只有一条：不能先合并谱再拟合。

一致性是必要条件，不是充分条件。 污染单符号，伤害合并结果的是偏置的加权均值；污染程度相同的一批观测彼此完美一致而且一起错。观测间一致性是污染的探测器，不是目标。

8.6 Pareto：单观测取误差最小点，多观测取平台起点

前沿不是缺陷，它是可行集的边界。缺陷在于把"落在前沿上"当作证据。约束优化并没有取消前沿，它是在前沿上挑一个点——而挑哪一个点，取决于你在回答 Q-单还是 Q-多。

设 $$N$$ 个同质观测等权合并，保留比例 $$f$$ ， $\sigma^2_{\rm comb}=k/(Nf)$ ，残余污染 $$b(f)$$ ：

\frac{d\mathcal{E}^2}{df}=-\frac{k}{Nf^2}+2b\,b'(f)

$$N=1$$ ：解 $$2bb'=k/f^2$$ ，两边都是正的，最优点落在前沿内部。而在平台上 $$b'=0$$ ，导数是纯负的，说明还该往右走。所以单观测的最优点保留的时间比平台起点更多。
$N\to\infty$ ：第一项趋零，根移到 $$b'(f)=0$$ 处，就是平台起点。

所以 $$N$$ 就是把最优点从一头滑到另一头的旋钮：观测越多，越该多切——因为曝光变便宜了，偏置成了唯一的敌人。Pareto 前沿上误差最小的那一点是单观测该用的；平台起点是多观测对每个观测的约束。 两者一般不重合，而它们的距离本身是一个可测的量。

前沿上的新点不再是证据。 前期工作里，一条在它被设计出来的那个观测上表现优异的规则，迁移到另外二十九个观测后正负各半——纵轴有噪声而横轴几乎没有，取上包络就是在选向上涨落。只有冻结规则、再施加到没有参与挑选它的观测上，得到的才算数。

8.7 还没定死的选择，以及已知系统误差的价目表

诚实列出，因为它们会影响结论。

宁静基底 $$m$$ 的估计方法。 这是最要紧的一个。迭代 σ 裁剪有两种失效方式，本工作两种都撞到了：阈值若依赖被估计的电平，它会塌缩到越来越小的子集；阈值若固定在原始计数的 Poisson 宽度， $3\sigma$ 在 100 s 格上是静态率的一半以上，耀发的肩部会活下来并把基底抬高。现采用半样本众数定位计数率分布的峰、再在峰两侧各取 $3\sigma_{\rm Poisson}$ 取平均：众数由密度定义，长尾拖不动它，也没有东西可塌缩。代价： $\eta$ 的中位数在两种基底定义之间相差 0.0032。

其余的选择与已知系统误差：

项	现状	对 $\eta$ 的影响
基底定义（众数 vs σ 裁剪）	采用半样本众数	0.0134（中位）
连续谱能段（折点以下 vs 跨折点）	采用 2.30–3.20 keV	0.0068（中位）
粒子背景漂移（线的线性项）	实测 10/30 个观测 $>2\sigma$	0.0067（中位）
常数锚（代数上应为零）	实测最大 0.046	众数的并列打破所致，非零
线下连续谱模型（幂律 vs log-parabola）	采用 log-parabola	不影响 $\eta$ ；影响线判据 0.29 个百分点
时间格长 100 s	承自现有节奏，未优化	未测
$A_{\rm tot}$ 的显著度闸门 $5\sigma$	预先声明	决定 $\eta$ 是否可报
基底里藏着多少稳态软质子	测不到	决定 $A_{\rm tot}$ 是下界还是真值（§8.1）
天空模型是否含随星系中心距的平滑项	30 个场跨 44.7′–134.8′	应是带置信区间的系数，不是假设
宇宙方差地板	不重叠的场各自采样不同的未分辨源	必须估计，不能假定

9. 什么算成功，什么能证伪它

一个不可能失败的提案不是提案。干净的几种结局是：

结局	含义
最优点靠近惯例滤波	惯例首次得到了定量的辩护。有用，一篇短文。
最优点保留了明显更多的时间	这个领域一直在丢弃好曝光。对这些仪器的每一位用户都有直接价值。
最优点保留了明显更少的时间	残余污染比以为的大，已发表的背景测量带有未被认识到的偏置。
被删除成分带着荧光线	前提在你的样本上不成立；切割删的是宇宙线背景。报告并停止。
观测间弥散对切割毫无反应	探测器层面的代理量并不追踪科学目标。这将推翻大量通行做法，是最重要的一种可能结果。

注意最后两行是假设的失败、项目的成功。方案的安排使它们在阶段 2 和阶段 4 就被发现，而不是四年之后。

10. 风险，以及应对

看不见的底座。 在每个观测里都完全相同的污染，无法从内部探测。这是一个真实的、永久的限制，不是一个可解的问题。应对方式是：把结果报成"假设底座为某值"的函数，并把底座取零作为保守默认——那个选择会低估切割的收益，所以你真的找到的任何收益都不是这个假设造出来的假象。

点源。 孔径内的一个变源在时间域里能完美地伪装成污染。本提案不引入冻结源掩膜那一整套机制——那会带来一个与本工作循环依赖的复杂度：改切割即改曝光，改曝光即改探测深度，改探测深度即改掩膜。取而代之的是 §4.2 那个不用源表的空间判据：只看被删除成分自己的空间分布，看最亮格的份额相对弥散基准差多少。它在本样本上已经把变源假设排除了。若将来某个观测在这道判据上不过关，再对那一个观测单独处理。

不同观测看的不是同一片天。 如果你的场不重叠，每个场采样的是一组不同的暗弱未分辨源，那么无论你的切割多好，它们都不会完美一致。要估计这个下限而不是假设它，并在能拿到的时候优先选重叠指向。

在噪声上做选择。 试的切割足够多时，"看起来最好的那个"就是碰巧最好的那个。先冻结你的规则，再把它施加到没有参与挑选它的那些观测上。 在前期工作里，有一个在它被设计出来的那个观测上表现极佳的策略，迁移到另外二十九个观测后与噪声无法区分——这正是这条纪律的用处。

11. 你会学到什么

一台真实仪器的探测器物理；天基 X 射线数据从头到尾的处理；统计项与系统项真正相互竞争的误差预算；估计量设计与零假设标定；以及事先想清楚"结果要长成什么样才会让我改变想法"的习惯。

这些没有一项是 X 射线天文独有的。

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